2016年 灘中学校 8問目

こんにちは。

ラーメンばっか食ってるんじゃないかとよく勘違いされますが、そんなことはありません。ちゃんとカレーも食べてます！（ちゃんと？）

今回も引き続き灘中学からの出題です。

そろそろ違う中学校の問題もやろうと思うのでしばしお待ちを。

今回は図形を描きやすいものを持ってきました。

例によって文章から図に直してみましょう。訓練です。

【問題】難易度：★★★☆☆

正六角形ABCDEFがある。辺AB、辺BC、辺DEの中点をそれぞれP、Q、Rとする。ここで、「PとRを結ぶ直線」と「QとFを結ぶ直線」の交点をSとする。この時、三角形QRSはの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍か？

【解説】↓

今回はかなり図を描きやすかったと思います。気をつけるべきは大きさくらいでしょう。ちなみに、下の図のように描けていたら第一歩【鉄則その１・図は自分で描く】はクリアです。（別に三角形を塗る必要はありませんよ！）

ではいつも通り、読み取れる情報は書き込んで行きましょう（【鉄則その２・数値を書き入れる】）。

面積比を問われているので比や長さを中心に書き入れたいところですね。

！？！？なんとほとんど書ける事がない・・・再考・・・

先ほども言いましたが面積比を問われていますから、三角形QRSの辺の長さの比は欲しいところ。

しかし、例えばQS：QFやPS：SRがわかったところで、どうやって正六角形と面積比較するのだろうか？

三角形を囲うイビツな四角形や五角形を引き去る方法もあるが、これらの図形の面積と正六角形の面積を比べないといけない・・・。

基本に立ち返る。

面積比を考える時、普通六角形や四角形のまま考えませんよね。

いくつかの三角形に分割して考えていると思います。

広く言えば、面積を比較するための基準となる三角形をどこかに見出すという事です。

今回のテーマは正六角形。これと親和性の高い三角形といえば正三角形しかないでしょう！いわゆる、【鉄則その３・関連性を探る】というやつです。

正六角形の対角線を使えば、正三角形6個に分割できますが線がごちゃごちゃするので、今回は外に作りましょう。

すると、読み取れる情報か格段に増えます。

そして今私たちはQS：QFやPS：SRのような比を知りたいので、次の図のように「砂時計型」に着目すると・・・

 この結果より、三角形QRSの面積は三角形XQRの面積の3／7である事が読み取れる。

ここで、正三角形XABを面積比を考えるための基準とする。計算を簡単にするためここではこの正三角形の面積を４（つまり２×２）とする。

よって・・・

（正六角形ABCDEFの面積）＝４×６＝２４

（三角形XQRの面積）＝（正三角形XYZの面積）ー（三角形XRZの面積）ー（正三角形QYRの面積）＝（６×６）ー（３×６）ー（３×３）＝９

（三角形QRSの面積）＝（三角形XQRの面積）× 3 / 7 ＝ 27 / 7

これで材料は全て出揃ったので、

三角形XQRの面積は正六角形ABCDEFの面積の面積の 27 / 7 ÷ 24 ＝ 9 / 56 倍

とわかる。

いかがでしたか？

正六角形は正三角形と関連づける事で格段に戦闘力が上がります。

また、闇雲に補助線を引いてるわけではない事がだんだんわかってきたのではないでしょうか？（そうだと記事を書いてきた甲斐があるというものです。）

では今回はここまで。お疲れ様でした。

p.s

今夜は寿司が食いたいなぁ。。。