2013年 算数オリンピック ファイナル

こんにちはお久しぶりです。

2,3日更新が滞ってしまい、その間に当ブログに訪問してくださった方すみませんでした。

 

今日は朝霞訓練場で行われた「自衛隊観閲式 総合予行」の観覧に招待してもらいました。自衛隊の観閲式とは、基地や隊の創立・創隊記念の式典で、国民に自衛隊への活動の理解や周辺国への牽制のためにに執り行われるようです。

 

自分はそんなことは全然知りませんでしたが、各隊・車両の行進(初お披露目のF-35戦闘機の飛行もみることができました!)や、装備品(戦車などの車両)の展示隊員有志による音楽演奏などを見れてとても楽しかったです。しかも、詳しい友人とともに観覧したので色々知識もついて一石二鳥でした。

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では、今日の問題がこちらです。

2013年の算数オリンピック ファイナルから少しトリッキーな面積の問題を抜粋しました。今回の図はとても簡単なので、問題文を読んで自分で図を描くところからスタートしましょう!

 

【問題】難易度:★★★★☆

三角形ABCにおいて、AB=7cm、角B=22.5°、角C=45°のとき、

三角形ABCの面積は?

 

【解説】↓

 1・【鉄則その1・図は自分で描く】

問題の条件を描くと下の図のようになります。22.5°が45°の半分であることを利用すれば作図はさほど難しくはないでしょう。

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2・【鉄則その2・数値を書き入れる】

残念ながら図が初期状態のままでは角Aしかわかりません。ACやBCの長さ(または長さの関係)を紐解いていく流れになることが予想されます。

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本問で面積を求めることを見越して、三角形の面積の基本「底辺×高さ÷2」を念頭に置いて、高さに相当するCHを書き足しておきます。高さが求められたら一番ラッキーな展開です。

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3・【鉄則その3・関連性を探る】

さて、前のステップで高さに相当するCHを補助的に導入した結果、角度に注目すれば三角形BCH(青色)三角形CAH(緑色)が相似であることが読み取れます。

 

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しかしこのままでは、三角形BCHも三角形CAHも辺の長さが一つもわかりません

ここで、この三角形の図形的特徴を探っていきましょう。

 

着目するべきはどう考えても45°で、直角二等辺三角形の利用を考えます。多分皆さんも問題を見た瞬間「直角二等辺三角形の利用するんだろうな」と直感したことでしょう。

 

ただ、問題はどこにどのようにして直角二等辺三角形を導入するかです。問題見た瞬間闇雲に直角二等辺三角形を描いてもなかなか正解にたどり着けません。

先に解法の方針を立ててから補助線や補助図形を記入するようにしましょう。

 

先ほどの相似の関係を使うか否かに限らず、辺の長さがどのような仕組みで定まっているのかを解明する必要があるので、三角形ABCの内部に直角二等辺三角形を作りましょう。

 

AからBCに向かって垂線を下ろしても良いですが、私は下の図のように直角二等辺三角形ACDを導入して見ました。このようにするとAC=AD=BDが現れます。

なぜこのようにしたかというと、高さのヒントとなる「三角形ACHのどれか1つの辺と同じ長さを作りたい」と考えたからです。

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ここで、三角形ABDが三角形ACHを2つ繋げた図形になっていることに気づきましょう。

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すると、高さは7cmの半分になります。

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よって、面積は

7×3.5÷2=11.25 (㎠)

です。

 

問題設定が非常にシンプルで、かつ角度の設定が意味深なのでおそらく他にももっとうまい解法があると思いますので、思いついた方は是非教えてください。

 

【まとめ】

  • まずは面積の求め方の基本に忠実に
  • 補助線は解法の方針を立ててから
  • 等辺をたくさん作ろう

 

では、今日は早起きだったのでもう寝ます。おやすみなさい。