2011年 算数オリンピック トライアル
こんばんは。
今日は一日中引きこもってタスクをこなしていたので何も雑談のネタがありません。強いて言うなら一時間ぐらいYoutubeで龍が如くのストーリー動画を見ていたくらいです。
あ、後ブログのアイコンをぱぱっと作って見ました。バランス悪かったり文字見えにくかったりするので今度修正しますがこんな感じ。
では、今日は本題にサクッと入っちゃいましょう。
今日の問題は下の記事の問題と深い関連がある問題です。大ヒントになっちゃいますが、たまには正解したい・・・！と言う人は記事をぜひ読んでください。
図形問題はヒントを与えてもらってもそれをどこに使うかが大事なので、そこはじっくり考えましょう。
2011年の算数オリンピック トライアルで出題された問題です。
【問題】難易度：★★★☆☆
図のような三角形ABCがある。各辺上にそれぞれ点D,E,Fがあり三角形DEFは直角二等辺三角形である。さらにBD＝1cm、BE＝3cm、AD＝AF＝CF＝CEが成立している。このとき、三角形ABCの面積は何㎠か？
【解説】↓
さあ今日も順序立てて見ていきましょう。
最初に提示してある図は正確なのですが、それは僕が問題を解いて全てを把握し、PCで描いてるからに他なりませんが、最初にこの問題を僕が解いたときはそんな芸当できません。
じゃあどうやっていい感じの図を描くの？と言う疑問が湧いてくると思います。
僕は初見の時、下の図のような手順で描きました。
- まず三角形DBEを描く（長さがわかっているから）
- その上に直角二等辺三角形DEFを描く（DEの長さが前の手順でわかっているから）
- DBとDEをそれぞれ延長する
- DEとEFをそれぞれ垂直に二等分する線を入れる
- 延長線との交点をB,Cとして結ぶ
そうすると若干のズレは出てしまいますが、いい感じの図が描けるはずです。
しかしここで、”こんな手順どうやって思いつくの？”（特に垂直二等分線のところ）と言う声が聞こえてきますね。
こればかりは図形の性質とにらめっこしながら訓練を積むしかないです。「二等辺三角形の頂点から垂線を下ろすと２等分される」と言う性質を逆利用すると言う発想は、この性質をそもそも知ってないとできません。
等辺を強調し、わかる長さと角度に印を入れることはもうお馴染みですね。ここでFはACの中点になっていることは見落とさないように！
冒頭の記事で紹介しているテクニックはここで生きてきます。やはりこの問題でカギを握るのは直角二等辺三角形DEFでしょう。
問題に立ち返ると、聞かれているのは面積です。そして一部の辺の長さは与えられています。ここから、「うまくやると全ての辺の長さもわかるようになってるはずだ」と予想を立てます。基本的に長さ(または比)が分からなかったら面積分からないですからね。
辺の長さが分からない「斜めに入ってくる直角二等辺三角形」は下の図のように扱う場合がほとんどです。垂線をおろすとタテ３cm、ヨコ４cmの長方形で囲んでやることができます。
ここで、FがACの中点であることが効いてきます。これより、緑色の２つの直角三角形は合同であることがわかり、辺の長さもめでたく求められたわけです。
よって、直角三角形ABCはタテ６cm、ヨコ８cm（ちなみにAD＝AF＝CF＝CE＝５cm）ですから、面積は24㎠です。
【まとめ】
- 直角二等辺三角形が斜めに入り込んでいるときは方眼紙を思い浮かべる
一日中家にこもると精神衛星がよくないし気分も上がりません。明日は外出しようと思います。
あ、友人たいちのブログが絶賛バズり中(読者登録とアクセス急増)なのでよかったら読んでみてください。
