2008年ジュニア算数オリンピックファイナル - 図形問題で柔らか頭に！〜算数オリピック・中学入試問題にチャレンジ〜

こんにちは。１日空いての更新です。

毎日更新を続けていたので少し悔しい・・・

しかし、更新がないにも関わらずたくさんの方がブログに訪問してくれていたようでありとうございます！！

昨日はサークルの友人でシンガーソングライターをやっている子と飲みに行っていました。色々考えてチャレンジしている話はとても刺激をもらえました。自分が知らない刺激を与えてくれる友達の存在はとてもありがたいです。

ぜひ有名になって僕を関係者席に招待してください！！

ちなみにApple musicで”CHiKA”と検索すると出てきます。

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自分もブログに事業に色々頑張らないとな・・・。その子とも一緒に何かコラボしたいなと思いました。

さて、今日の問題はなかなかの難問だともいます。”ジュニア”とは小学５年生までを対象にした算数オリンピックです。

余談ですがこの問題、ジュニア算数オリンピックのファイナルの問題ですが、予選を勝ち抜いた優秀なファイナリストですら正答率が１％だったとか・・・

こんな難しい問題を解いてしまう小学生には脱帽です。

【問題】難易度：★★★★★

三角形ABCにおいて、ABの中点をMとし、辺BC上にAM＝BM＝PMとなるように点Pをとる。角Aと角Cの角度と、BCの長さは図の通りである。このとき四角形AMPCの面積は？ (ただし図は正確とは限らない)

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【解説】↓

見慣れない上に中途半端な角度が出てきて戸惑った方も多いのではないでしょうか？

(ちなみに問題に載せた図は正確です)

なので、与えられた図のように描けた方はスタートライン【鉄則その１・図は自分で描く】はクリア。

与えられている角度から各所の角度が求まります。(やたらと書き入れると煩雑になるので下の図には全ての角度は記入していません。)また、等辺は強調しておきましょう！

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四角形のままだと見づらいので、二等辺三角形を作るために下の図のように四角形AMPCを分割してさらに情報を追加しましょう。

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すると、三角形APCが直角三角形であることや、三角形AMPと三角形BMPの面積が等しいことがわかります。

しかし、このままではどこの面積もわかりません。もう少し発想をひねる必要があります。すぐに見抜くことができる情報は記入し終わりました。

まず、37.5°が見慣れないので一番扱いづらく感じると思います。そこで、小数点が嫌なので２倍すると75°になります。これは割とよく見かける角度ですね。

さらに、角Aの外角は52.5°になっていて角PACと等しいことがわかります。

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また、三角形AMPと三角形BMPの面積が等しいことから、三角形APCと面積が等しい三角形が欲しくなりますね。すると、下のような補助線を引きたくなるでしょう。（多分）

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つまり、四角形AMPCの面積は三角形BQCの面積の半分となるわけです！

ここで、この細長い三角形BQCの面積を求めたいところですが、BCを底辺と見たときの高さはそう簡単には求められません。

15°より見慣れている角度にするために、下のように反転させてくっつけましょう。

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すると、これはおなじみの三角形ですね。高さはすぐに15cmとわかります。

以上から、四角形AMPCの面積はこの三角形CBRの面積の1/4なので、56.25㎠とわかります。

かなり遠回りして求めている印象を受けますが、算数オリンピックではこのようなパターンが頻出です。「定量的にわかる」情報が得られるまで忍耐強く補助線を探りましょう。

【まとめ】

今日の問題のポイントです

お疲れ様でした。今度から問題ごとにまとめを作りたいと思います。皆さんの脳の活性化に役立てたら幸いです。