2017年 ジュニア算数オリンピック ファイナル

こんにちは。

 

先日、バイト先に面白いお客さんがご来店してくださいました。

社長とご飯が食べれる”社長メシ”というサービスアプリを作る会社でインターンをしているとか。

社長側は会社として採用コスト抑えるだけでなく、自分の目で学生を見定められますし、学生はご飯おごってもらえるのでWin-Winというわけです。

閉店後、その方々と自分含めスタッフ3人で飲みに行くという珍事件。

面白い取り組みをしている人と知り合うことほど刺激的でワクワクすることはないです。出会いに感謝。

 

さて、本題に入りましょう。

今回はジュニア算数オリンピックの問題ですが、かなり戸惑う問題設定です。

このブログの常連さんは気づくかもしれませんが、「面積といえば直角」を合言葉に正解目指してチャレンジして見てください。

 

【問題】難易度:★★★★★

下の図のように直角二等辺三角形ABCと平行四辺形ACDEを組み合わせた五角形がある。AE=5cm、BE=8cm。このとき五角形ABCDEの面積は?

 

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【解説】↓

ではいつも通り段階別に解き進めて見ましょう!

まずは【鉄則その1・図は自分で描く】のフェーズ。

いつも口うるさく「図は正確に!」と言っていますが、この問題は正確に描くことができません。なぜなら図が一意に定まらないからです。

角AEBの大きさによってこの図は様々に変化します。

 

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そして、問題文の意図をここで汲み取りましょう。面積を問われているということは図形は定まらなくても「面積は定まる」ということです。ここに気づくかどうかもこの問題を考える分かれ道になりそうです。

 

次は【鉄則その2・数値を書き入れる】段階に入りますが、上でも言ったように角ABEの大きさ次第で図は変化するので、角度に関する情報を書き足すことは有効ではないでしょう。平行四辺形であることを忘れないために、等辺に印だけはつけておきましょう。

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そして【鉄則その3・関連性を探る】

これまで紹介してきた算数オリンピックの面積の難問たち。その中でも以下の2つの記事で強調してきたことは、「面積求めたければ、まずどこかに直交する線分を作らなきゃ」と発想することです。これは何も特別な発想ではありません。それがダメで初めて比や有名角を使ったうまい変形を考えるのです。


今回もそれらに倣って直角を生み出していきましょう。長さがわかっているのはAEとBEだけ(それ以外の辺はそもそも図によって長さが異なるので意味なし)なので、これらの線分を直交させるうまい補助線が必要です。

 

ここで直角二等辺三角形ABCに着目します。長さがわかっている辺同士を直交させたいので、角BACが直角なので点A周りに三角形ABEを回転させましょう。

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では、直交させた長さを用いて面積を計算できる図形を生み出しましょう。この場合、直角二等辺三角形AEFと四角形BCEFです。

 

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こいつらをうまく使いたいわけですが、その前に区画ごとに記号をつけておきましょう。入り組んできた図を整理するためです。

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ここで、あ〜えについて情報を整理しましょう。

  • あ+い+う=(四角形BCEFの面積)=32 ㎠
  • い=(三角形AEFの面積)=12.5 ㎠
  • う+え=(五角形ABCDEの面積)

つまり、「あ」と「え」の関係がわかれば、題意の図形の面積を求めることができるとわかります。(どうせ等しいんだろうな・・・)

 

ここで、平行四辺形の隣り合う角の和が180°であることと、角BAF+角CAE=180°であることに注意すると・・・

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三角形ABFと三角形CADが合同であることに気づけば、「あ」の面積と「え」の面積はともに平行四辺形ACDEの半分!

したがって、等積変形によって

(「あ」の面積)=(「え」の面積)

 

したがって、上でまとめたあ〜えについて情報より、

 

う+え=う+あ=(あ+い+う)ー(い)=19.5 ㎠

 

とめでたく求められました。非常にうまく作られた問題です。

正解を導いた受験者は少なかっただろうと予想されます。 

 

どんどん頭が柔らかくなってきているように感じませんか?

自分も更に精進します。

 

ではお疲れ様でした。