2013年 灘中学校 11問目 【その１】

こんにちは。

帰省で名古屋に来ているのですが、いろんな人と会って「名古屋を盛り上げよう！」という雰囲気が高まっているのを感じました。

こんな雰囲気が名古屋だけでなく日本全国に広まって欲しいな。

一気に記事をつくりすぎたので２日ほど休息をいただいました。

今回は趣向を変えて、同じ問題を【その１】【その２】に分けて紹介したいと思います。

【その１】はいわゆる普通の解説。問題集の解答のように鮮やかに見せるものにします。

【その２】は従来通り試行過程をステップごとに解説するもの。

とします。

意図としては

・鮮やかな解答の裏側には論理的に創意工夫がなされていること

・決して天から降ってくるひらめきではないこと（いつも言ってる）

を感じてもらいやすいかなと思ったからです。

では今回は【その１】。

早速問題を見てゆきましょう。

【問題】難易度：★★★★☆

下図のような直角三角形ABCがある。点Dは辺BC上にあり、角CAD＝15°となっている。また点Mは辺ABの中点であり、AC＝DM＝5cmとなっている。このとき以下の問いに答えよ。

(1)角ADMは何度？（図の？のところ）

(2)BDの長さは何cm？

【解説】↓

(1)

次の図のようにMからBCに向かって垂線MHをおろすと、三角形ABCと三角形BMHは相似になる（アポロ型のやつ）（アポロってあのチョコレート菓子のことね！）。

MがABの中点なので、その相似比はAC：MH＝２：１となる。つまりMH＝2.5 cm。

したがって三角形MDHは正三角形を半分にした三角形とわかり、角MDH＝30°となる。

以上から、？＝180°ー30°ー75°＝75°

(2)

下の図のようにAを通りBDに平行な直線とDMの延長線の交点をFとする。

すると、FAとBDは平行であるからAM：MB＝１：１より、DM＝MF＝５cmかつ、AF＝BDとわかる。三角形MDHと三角形MFEは合同（同じ形）となるとわかる。

ここで(1)より角ADF＝75°、角MFA＝角MDB＝30°であるから角DAF＝180°ー30°ー75°＝75°となる。つまり、三角形AFDはAF＝DF＝10 cmの二等辺三角形とわかる。

 よって、BD＝AF＝10 cm

解説は以上です。鮮やかにスッキリ解いているように見えますね。

しかし、「こんな都合のいい補助線どうやって思いつくの？」って思う方も多いと思います。そこは【その２】でじっくりご説明いたします。

では次回に乞うご期待。お疲れ様でした。