解答:オリジナル問題1【正方形をどう使うか?】
こんにちは。
最近自分の宣伝以外でも拡散してくれる人が少しずつ出てきはじめて少しずつアクセスが伸びていて嬉しい限りです。これからも応援のほどよろしくお願いいたします。
さて、今回はみなさんお待ちかね(?)のオリジナル問題の解答・解説をお届けいたします。
オリジナル問題ってなんのこと?という方は下の記事をぜひご覧ください。
とりあえずおさらいのため問題は掲載しておきます。
【問題】
下の図において、四角形ABCGと四角形DEFGは共に正方形で面積は図に示す通りです。CD=5 cmのとき三角形AFGの面積を求めてください。
【解答】↓
嬉しいことに読者の方からもいくつか解答をもらいました。三平方の定理を使ってゴリゴリとく大人な方。ヘロンの公式を使う猛者。うまく等積変形を試した人。などなどです。正解を導いた方々はお見事です。
ヘロンの公式ってなんだ?という方はぜひ調べてみてください。気になったことをすぐ調べるとあなたの血となり肉となります。
とりあえず今回は算数しか知らないと仮定して解説してゆきます。
まずざっくりと今回のタネを明かしたいと思います。面積が26と29という中途半端な正方形たち。サブタイトルにもあるように”正方形をどう使うか?”が肝です。
中学入試や算数オリンピックでは頻出の小技(大技?)なのですが、下のような正方形の4隅を削って作ることができます。
そして、与えられているCD=5cmがややトラップで、これも3:4:5のピタゴラス三角形の斜辺になっているのです。
上の図も算数チックにピタゴラスの定理を証明する際にも使われる図ですが、3:4:5を知らない小学生でも上と同様に考えれば面積が25の正方形を作り出すことができます。
以上のことを踏まえて、
六角形ABCDEFは下の図のようにキレイに方眼紙に収めることができます。
(1マスは1cm×1cm)
そして、三角形AFGが含まれる長方形に着目して、
周囲を削る戦法でいくと、(三角形AFGの面積)=11.5 ㎠
しかし、これがもし本番の試験なんかで出てきたらとても方眼のマスなんて書いて入られません。とても根気がいる作業です。
なので、面積が26と29の正方形とCD=5cmのカラクリを把握してから、以下のような等積変形に気づくことが現実的です。
つまり、三角形CDGの面積を求めればよいのです。
そうなると、各方眼マスも少なくて済みます。(というか外枠の長方形に辺の長さ書くだけでも十分)
同様に長方形から周囲を削る戦法で ?=11.5 ㎠
となります。
このように正方形や45°を作るときは方眼紙が大活躍します。
こちらの記事で紹介している発想も同様の背景があります。
いかがでしたか?やられた・・・!というかたも多いのではないでしょうか。
たかが算数されど算数。頭を柔らかくしていきましょう。
次回はオリジナル問題2の解説をしようと思います。お楽しみに。