2011年 灘中学校 11問目
こんにちは。
今日は地元名古屋のラーメン屋「ふくろう」をご紹介します。
このお店、山形にある「龍上海」というお店ののれん分けです。
新横浜にラーメン博物館という施設があって、そこに「龍上海」が出店していて、そこで知りました。
名物”辛みそラーメン”は普段食べる味噌ラーメンを辛くしたものとは大違いで、説明し難い深い旨みがあります。
こんな美味い店ののれん分けが地元にできていかないわけがない。龍上海の味をしっかり受け継いだ深い味わい。ぜひご賞味あれ。
色々書いてたら本題を見失うところでした。
はい、今回はかなりお気に入りの一問です。
図形を見る目と、分かる情報はどんどん書き込むことの重要性がわかる良い一問です。
皆さんもじっくりチャレンジして見てください！
※今回もあえて、図は与えず、文章で書いてみました。
では早速問題です。
【問題】難易度：★★★☆☆
AB＝BC＝10cmの直角二等辺三角形ABCがあり、BCの中点をMとする。ここで、三角形ABMを直線AMを折り線として折り返したとき、点Bが移る点をDとする。さらに、BDとAMの交点をE、ACとDMの交点をFとする。このとき以下の問いに答えよ。
(1)AEの長さはEMの長さの何倍か？
(2)MFの長さは何cmか？
【解説】↓
今回は直角二等辺三角形や中点が題材なので、比較的描きやすかったと思います。折り返した時のDの位置がやや難しいくらいでしょうか。
ただ、文章を理解しながら描くのは労力がかなりかかる印象を受けたと思います（僕の文章が下手なのもありますが・・・汗）。
ではまずスタートライン。【鉄則その１・図は自分で描く】
以下のような図が描けていたら正解です。
では次。【鉄則その２・数値を書き入れる】
折り返した後の三角形ADMと元の三角形ABMが同じ形であることや、和が90°になることを考慮すれば以下のように数値と記号を書き入れることができます。
ここで、●と○と直角で構成される直角三角形は全て相似であることが言えるので、直角を作る２つの辺の長さの比が5cm：10cm＝１：２とわかります。
辺BEの比の関係に注目すれば、AEはEMの４倍であることがわかります。
ここまでで感づいている方もいるとは思いますが、本問は比や角（相似）で攻める問題です。引き続き比を考えていきましょう。
今問われているのはMFの長さですから、MF：FDを求めたいところ。。。
三角形が絡む比の問題で頻出なのが平行線を使う「アポロ型」「砂時計型」の２種類です。
とりあえずDとCを結ぶ補助線を書いておきましょう！
え？なぜかって？
MC＝MDで二等辺三角形作れるし、砂時計型のようなもの使えそうだし、、、なんか良いことありそう。ってだけの理由です。
どんどん行きます。二等辺三角形MCDにも角の情報を与えてやりましょう。
角BMD＝角MCD＋角MDC（スリッパ型）なので、二等辺三角形MCDの等しい角はそれぞれ●をつけることができます。
図もごちゃごちゃしてきたので不要そうなものは省きます。
かなりスッキリしましたね。ここでまた図形とにらめっこ。
すると錯覚(●)が等しいので、AMとDCが平行になります！これはとても嬉しい！
これなら「アポロ型」「砂時計型」の比の関係が使えます。
なんかいいことありそう！くらいのノリで引いてもうまくいくことは多いです。（それなりの根拠は必要だけど）
「アポロ型」によって、EM：DC＝１：２とわかります。
ちなみに、三角形BCDは三角形ABEと同じ形になってます！！
次はMF：FDを含む「砂時計型」に着目して・・・
よってめでたく、MF：FD＝５：２とわかりました！
MD＝5cmですから、MF＝MD×5/7＝25/7 (cm)と求めることができます。
いかがでしたか？
今回はかなり骨のある問題だったと思います。
着目する図形が次から次へと移り変わるので混乱してしまいますが、ステップごとに分けて考えると、いずれも教科書レベルの話に持っていくことができます。
では、今回はここまで。お疲れ様でした。
